对数的起源
●背景：
十五世纪欧洲文艺复兴起，天文学和航海学逐渐发达，由于这两种事业需要大量的计算，于是数学家们开始思考一种精准的计算方法来适应大量的计算。
将乘积转变为和差：
●十六世纪天文学家的积化和差→
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)
这两种公式由于需要用到三角函数中的正弦和余弦，还是不够简便，但对耐普尔发明对数有了很大的鼓励。
● 舒开
1484年法国巴黎大学医学学士写了<关于数的科学>一书，书中他将等差数列和等比数列进行比较，发现一个有趣的性质：
2+4=6可以化成4x16=64
0,1,2,3 , 4 , 5 , 6 ,…
↑
↑ ↑
1,2,4,8,16,32,64,…
等比数列中两项的商在等差数列中的对应项，是两项在等差数列中对应项的差。
● 史提非
重新发现了舒开的结果，把这种对应关系扩充到负指数及分指数上，例如，r2除以r3得到r
-1，这个值对对应到等差数列中的-1。
＊
●耐普尔(Napier)对数：耐普尔对数
耐普尔研究机缘:
耐普尔原本是专研计算数和三角学的，在他的研究过程中，他发现Stifel所指出的等比以及等差数列数间格过大而不适用于计算，想找方法改善，此时刚好遇到刚丹麦回来的苏格兰王的医生John
Craig，告诉他天文台prosthaphaeresis方法，其意为加减，但事实上是将函数乘机转为和差的方法。
。此公式乃引用三角学中积化和差:
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)
方法 :
将预算的数A和B的乘机时，先视其为三角函数值查表(注意:数值自行先画成<1的小数，即呈上1/10n)
，找出对应的角a、b(注意:公式为2cosAcosB，算cosA值时，代的A值须为原数的1/2)
，接下来找出cos(A+B)及cos(A-B)
，在成上10n，究是答案了(注意:其值还是个近似值)
＊ 正题—＞耐普尔对数之精义:
process:
耐普尔认为等比数列中两数的间格可能太大，所以就选取了一个很接近1的数来做公比r，他选择r=1-10-7=0.9999999，这样间隔就会便很小很小，再来，怕有小数点的麻烦，所以Napier把每个乘幂都呈上107，得
N=107(1-10-7)LàNap.logN=LàNap.log107=0
(Nap.log9999999=1)
耐普尔称L为N的”对数”，又当Nap.logN=L时
N/10=[(1-10-7)10的7次方]L/10的7次方
(因为e
为数列{(1+1/n)n}的极限值)
所以nà无限大时lim(1-1/n)n值为1/e，可知(1-10-7很接近1/e)
N/107≒(1/e)L/10的7次方àL/107=log1/e(N/107)
可推
log1/e(N/107)=L/107
由于以上这些，有人认为Napier为自然对数发明人，但不全然，因为Nap.log与log1/e不确实相同
Napier引进的对数的方法不像前所说的代数化，而是用线段(几何式)来表示
最先考虑沿直线运动的两点 P,Q。P 是在定长 AZ 之始点 A 到终点 Z 的运动。点 Q
则无限制地从直线 A'Z' 之始点 A' 点向 Z' 方向做运动，P,Q 以同速出发。点 Q 以等速运动，点 P 之速度由此点到 Z
的距离来决定，做减速运动。如点 P 在 B 点时，Q 在 B'，此时就称
A'B' 为 AB 的对数。
●比尔吉(Burgi)对数：
比尔吉是瑞士的一位钟表匠，对于天文仪器也很有兴趣，他和耐普尔一样，在对数方面选择了与1极为接近的数为底，只不过比尔吉选择比1略大的数1＋10-4，所以比尔吉的对数函数是递减函数。
比尔吉和耐普尔对数比较：
1) 底
比尔吉：a=1.0001
耐普尔：a=1-0.0000001=0.9999999
比尔吉
y
1
2
3
…
x
(1.0001)1
(1.0001)2
(1.0001)3
…
耐普尔
y
1
2
3
…
x
(1-1/107)1
(1-1/107)2
(1-1/107)3
…
2) 变化速度
比尔吉：1041/x
耐普尔：-1071/x
3) 用y*代替y后
比尔吉：
y*=1/104，2/104，3/104，…代替y=1，2，3，…→Δy*=1/104
变化速度变为1/x
耐普尔：
y*=-1/107，-2/107，-3/107，…代替y=1，2，3，…→Δy*=-1/107
变化速度变为1/x
4) x与y*的关系
比尔吉：∵x=(1.0001)y*，而y=104y*
∴x=(1.0001)104y*=[(1.0001)10000]y*
耐普尔：∵x=(1-1/107)y，而y=-107y*
∴x=(1-1/107)-107y*=[(1-1/107)-107]y*
(1.00001)10000=2.718116…
(1-1/107)-107=2.71
5)
用变数n(自然数)取代对数底中104和107，当n无限增大→得到自然对数之底
用x={(1+1/n)n}y
代替x={(1.0001)10000}y={(1+1/104)104}y
limn→∞(1+1/n)n=2.71828…
总结：
耐普尔对数的发明，使得承除开方等计算方法更为简便，不论是天文航海上或是日常生活中皆被广泛应用；不过现在因为计算机的发明，对数表也就逐渐没落了。
附录造对数表的方法:
a.
Napier制作对数表的方法: Napier引入对数表的目的是为简化三角函数对数值表,他以sin90∘为
,然后,求出每隔1分的正弦值,他以89º57'的正弦值等于0.9999996为例,他遂次计算 , , ……….而他发现
=0.9999996于是他的对数表中有于是他的对数表中有NAP.log
=NAP.log9999996=4 又如他求的 的正弦值=的正弦值=0.0008726645…
然后又得出 于是对数表中有于是对数表中有NAP.log =NAP.log8727=70439564
sin
log
tan
log
sin
0
0
infinitum
infinitum
0
10000000
60
2909
81425681
81425680
1
10000000
59
2
5818
74494213
74494211
2
9999998
58
3
8727
70439564
70439560
4
9999996
57
4
11636
67562746
67562739
7
9999993
56
5
14544
65331315
65331304
11
9999989
55
计算 , , ……….时, 有一种实用方法:令 则可得
也许Napier就是根据上述关系式由 求 。
b.Henry Briggs的常用对数表:利用几何平均数与算术平均数的对应
数
对数
A=1
0
B=10
1
C= = =3.162277
0.5
D= =5.623413
0.75
E= =4.216964
0.625
F= =4.869675
0.6875
G= =4.531583
0.65625
H= =4.697588
0.671875
I= = 4.613839
0.6640625
J= = 4.655525
0.66796875
K= =4.634635
0.666015625
1617年纳皮尔去世Henry Briggs求出1至1000的十四位常用对数表1624年Henry
Briggs把常用对数表加长到1至20000,
90000到100000的十四位常用对数表至于20000至90000是由Adriaen Vlacq补上。
c.清圣祖敕编完成的数理精蕴中用中比例求假数(对数),以现代数学符浩表示，乃是： →
以 为例
0.5000000000
0.7500000000
0.8750000000
0.9375000000
0.9687500000
(因 大于9)
故
0.9531250000
……………………………..
………………….
依此类推…..直到
事实上, 的小数点后面前九位是0.954242509…….有七位正确的值但很辛苦的喔
d.递次自乘求假数(对数),以现代数学符浩表示，乃是： , 该书以 为例,因为 共有4933位
。数理精蕴更进一步写出共有41375655308位得
小数点后有八位正确。
e. 递次开方求假数(对数),以现代数学符浩表示，乃是： 至于如何求 ？数理精蕴有一种有趣的方法
书中以10为例，将10作五十四次开平方，令 表示10的 次方根
当a,b满足
这个数清朝数学家李善兰把他称为中国对数表根。以为例首先计算2的乘幂直到求得最高位的值为1而次高位为0时才停止。已知
f.常用对数的根值法
用上表我们能算出1到10之间任何数的常用对数
G.用梅卡级数求自然对数值
一段野史：真数的来历
对于刚上高一的学生来说，在经历了一番集合与函数中的抽象定义以及各种符号轰炸之后，又迎来了一个难点：对数函数。这个难点如何突破？很多学生经常忘记“真数”必须是正数这一要求，当然这与学生在掌握数学基本概念的情况有关。
笔者从教数十年，对于中的N为什么叫“真数”也是一头雾水。从北方到岭南，从大雁塔下到黄海之滨，曾请教过很多知名的与不知名的专家，似乎也都是不清楚。
对数于十七世纪中叶由穆尼格引入中国。十七世纪初，薛凤祚的《历学会通》有“比例数表”（1653年，也称“比例对数表”），称真数为“原数”，称对数为“比例数”。《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表”。此后在我国便都约定俗成，称作对数了。《数理精蕴》是清代的一部数学著作，康熙皇帝十分认真过问这部著作的问世，共53卷。康熙52年开始编撰，康熙六十年完成，雍正元年出版。本书第一次向国内读者介绍了对数。在此书中已经出现了“真数”的名称，那么为什么叫真数？从《历学会通》中的“原数”以及“比例数”可以有一种猜测：“原数”和“比例数”本来就是“一对”数，所以简称“对数”。这充其量只能算是“对数”的来历，那么从《历学会通》到《数理精蕴》，怎么就出现了“真数”那？
究竟中的N为什么叫“真数”？笔者找到了一种解释。“正数”在广东话中是读做“zhenshu”的，这难道就是“真数”的来历？
这仅是一种猜测，有没有一些历史资料能够给予左证那？
一次，学校要求各个学科组织一期板报，要求既能体现学科特点、又能突出岭南特色。在上网搜索资料时，发现了一位卓有成效的岭南学子----邹伯奇。
邹伯奇（1819～1869
广东南海人），清代物理学家，对天文学、数学、光学、地理学等都很有研究。他自己动手制作照相机并拍摄照片，并著有《摄影之器记》和《格术补》，专门探讨摄影技艺及理论问题。他曾独立制造了中国第一台照相机，比西方仅仅晚了4年；还曾参与测绘画出中国第一张有经纬线的中国地图，另外还测绘了广东地图、南海县地图、广州城地图、南海各司(相当于镇)地图甚至他所在的浔峰洲(金沙洲所在江岛)地图。
邹伯奇的数学成就体现在他的一系列著述中，为当时中国数学界填补了不少空白。他撰写的《学计一得》二卷和《补小尔雅释度量衡》一卷，以数学知识解释儒家经籍；《乘方捷法》三卷，对二项式的n次根和对数的幂级数展开式进行深入探讨，扩大了它们的应用；又撰《对数尺记》一卷，阐述计算尺的构造和它在数字计算中所起的作用。
这里，我们注意到邹伯奇也曾对对数有比较深入的研究。那么我们完全有理由猜测：是邹伯奇先生（也可能是另外的一位广东学者）首先学习了对数，然后游学全国各地，到达了北方，用比较浓重的乡音宣讲对数，在介绍到其中的“N”时，他说出的“zhenshu”在北方人耳里就听成了“真数”。
各位看客，这种解释，你能接受吗？
说到邹伯奇，当然应该再介绍他的另外一件传奇。
2009年7月，邹氏后人将邹伯奇手稿复印件送到中山大学陈树坚教授家中。陈树坚教授是中山大学力学权威，也是广东省定向爆破的顶级专家，精通数学、物理、力学。经连日研究结束后，他向邹氏后人连说了三个“妙”字。“这些手稿其实是邹伯奇在学海堂讲课时的教案，里面的注解就是他的解题思路，由于当时abc、123都还没传入中国，邹伯奇均用汉字和古文标示数学公式。邹伯奇对代数、对数以及几何均有很高造诣，而且不少解法在现在看来也非常有创意。”
另外，陈教授特别留意到邹伯奇在运算的时候经常是精确到小数点后16位，“现在一般的计算器都不能算到小数点后16位，就算是人手运算也十分困难，后来从研究他的对数解读中发现，他的运算思维其实相当科学，按照他众多算例提出的计算步骤，可以编制出现代计算机程序，而且运算结果竟然一致，说明他的思维与计算机高度一致。
好厉害的邹伯奇！好神奇的“真数”！
就读大学时候，笔者就比较喜欢所开设的《中国数学史》这门选修课。走上工作岗位后，也经常用数学史料来作为课程引入，以此来加强数学的教育功能。想当年，中学数学教师陆家曦的悲壮经历曾经使我热血沸腾。久而久之，学生也喜欢我能够经常给他们讲一些有关的数学历史，这种做法，极大地激发了学生学习数学的积极性。
比如，线性规划的引入，不能不讲其创始人美国数学家G.B.丹齐克的传奇经历。讲到等比数列当然要说说幼年的高斯如何能计算出1+2+3+。。。+100。在讲必修2立体几何初步时候，我曾经大量渗透我国古代数学家的成就，一此来宣扬自豪感。解析几何中的米勒问题、阿罗尼圆都曾经让学生回味无穷。
我们感叹数学的学术形态很难转化成教育形态，我们也抱怨一节课四十分钟，应该学到的知识都不一定学完，哪里有时间去讲那些貌似无关的内容？但是，我们应该静下心来思考：每节课我们满堂灌，学生又能接受多少？他接受到的是知识还是方法？接受到是表面还是本质？如果我们能够在有限的时间内激发他们的兴趣，鼓励他们的志气，那么那一点点的数学知识，可能完全依靠他们的自学就能够完成预期的目的。