拍频
解释
拍频（beat frequency）是指两个具有接近但不完全相同频率的波形之间的频率差异。当两个波形的频率接近时，它们会以一种特殊的方式相互干扰，产生一个频率等于它们频率之差的新波形。
拍频现象的产生是由于两个波形的相位差随时间变化而引起的。当两个波形的频率接近时，它们的相位差会逐渐增大或减小。在某些时刻，两个波形的相位差达到最大或最小值，此时它们的叠加会形成干涉，产生一个幅度较大的新波形。随着时间的推移，相位差会再次减小或增大，新波形的幅度也会变化。这种幅度变化的重复周期就是拍频。
拍频现象常常用于音乐中的和声和调谐乐器。例如，在弹奏两个不完全调谐的音调时，会产生拍频现象。拍频音会以一种有规律的方式在两个音调之间来回振荡，产生一种明显的有节奏感的声音。演奏乐器时通过调节音高，使两个音调频率达到完全相等，可以消除拍频现象。
在无线电通信中，拍频现象常用于频率测量和频率标准的校准。通过调整两个具有接近但不完全相同频率的信号，使它们产生拍频，然后测量拍频的频率，可以获取信号的频率差异，进而准确测量频率。
总之，拍频是指具有接近但不完全相同频率的波形之间的频率差异，常常通过干涉和相位差来产生。它在音乐和无线电通信中具有一些实际应用。
原理
拍频现象可以用积化和差公式来解释。假设有两个具有接近但不完全相同频率的波形，分别为f1f_1f1和f2f_2f2。它们可以表示为：
A1⋅cos(2πf1t)A2⋅cos(2πf2t)
A_1\cdot\cos(2\pi f_1 t)\\
A_2\cdot\cos(2\pi f_2 t)
A1⋅cos(2πf1t)A2⋅cos(2πf2t)
其中，A1A_1A1和A2A_2A2分别是两个波形的振幅，ttt是时间。
将上述两个波形相加可以得到它们的合成波形：
A1⋅cos(2πf1t)+A2⋅cos(2πf2t)
A_1\cdot\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cdot\cos(2\pi f_2 t)
A1⋅cos(2πf1t)+A2⋅cos(2πf2t)
根据积化和差公式，上式可以进行展开和化简：
A1⋅cos(2πf1t)+A2⋅cos(2πf2t)=12(A1⋅ei2πf1t+A1⋅e−i2πf1t)+12(A2⋅ei2πf2t+A2⋅e−i2πf2t)=12((A1+A2)⋅ei2π(f1+f2)t+(A1−A2)⋅ei2π(f1−f2)t+(A1+A2)⋅e−i2π(f1+f2)t+(A1−A2)⋅e−i2π(f1−f2)t)=(A1+A2)⋅cos(2π(f1+f2)t)+(A1−A2)⋅cos(2π(f1−f2)t)
\begin{aligned}
& A_1\cdot\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cdot\cos(2\pi f_2 t) \\
= & \frac{1}{2}\left(A_1\cdot e^{i2\pi f_1 t} + A_1\cdot e^{-i2\pi f_1 t}\right) + \frac{1}{2}\left(A_2\cdot e^{i2\pi f_2 t} + A_2\cdot e^{-i2\pi f_2 t}\right) \\
= & \frac{1}{2}\left((A_1 + A_2)\cdot e^{i2\pi (f_1 + f_2) t} + (A_1 - A_2)\cdot e^{i2\pi (f_1 - f_2) t} + (A_1 + A_2)\cdot e^{-i2\pi (f_1 + f_2) t} + (A_1 - A_2)\cdot e^{-i2\pi (f_1 - f_2) t}\right) \\
= & (A_1 + A_2)\cdot\cos(2\pi (f_1 + f_2) t) + (A_1 - A_2)\cdot\cos(2\pi (f_1 - f_2) t)
\end{aligned}
===A1⋅cos(2πf1t)+A2⋅cos(2πf2t)21(A1⋅ei2πf1t+A1⋅e−i2πf1t)+21(A2⋅ei2πf2t+A2⋅e−i2πf2t)21((A1+A2)⋅ei2π(f1+f2)t+(A1−A2)⋅ei2π(f1−f2)t+(A1+A2)⋅e−i2π(f1+f2)t+(A1−A2)⋅e−i2π(f1−f2)t)(A1+A2)⋅cos(2π(f1+f2)t)+(A1−A2)⋅cos(2π(f1−f2)t)
从上面的公式可以看出，合成波形可以分解为两个频率分别为(f1+f2)(f_1 + f_2)(f1+f2)和(f1−f2)(f_1 - f_2)(f1−f2)的波形的叠加。当两个波形的频率接近时，(f1+f2)(f_1 + f_2)(f1+f2)和(f1−f2)(f_1 - f_2)(f1−f2)会非常接近，但不完全相等。因此，它们的叠加会产生一个频率为(f1+f2)−(f1−f2)=2f2(f_1 + f_2) - (f_1 - f_2) = 2f_2(f1+f2)−(f1−f2)=2f2或(f1−f2)−(f1+f2)=−2f2(f_1 - f_2) - (f_1 + f_2) = -2f_2(f1−f2)−(f1+f2)=−2f2的新波形，即拍频波形。
用公式表示拍频波形为：
2(A1−A2)⋅cos(2πf2t)
2(A_1 - A_2)\cdot\cos(2\pi f_2 t)
2(A1−A2)⋅cos(2πf2t)
其中，2(A1−A2)2(A_1 - A_2)2(A1−A2)是拍频波形的振幅。从上述公式可以看出，拍频的频率等于两个波形频率的差值的绝对值∣f1−f2∣|f_1 - f_2|∣f1−f2∣的两倍。
因此，利用积化和差公式，可以解释拍频现象，即当两个波形的频率接近时，它们的幅度进行干涉叠加，产生一个频率等于两个波形频率差值两倍的新波形，即拍频波形。
拍差检波
拍差检波（heterodyne detection）是一种通过将待测信号与一个本地振荡器产生的参考信号进行混频，从而得到一个拍频信号，以便于信号处理和测量的技术。它常用于无线电通信、声音处理、光学等领域。
拍差检波的基本原理是利用两个具有接近但不完全相同频率的信号之间的拍频现象。当待测信号和本地参考信号的频率接近时，它们会产生一个频率等于两者频率之差的新波形，即拍频信号。这个拍频信号可以用来测量两个信号之间的频率差异，或者用于提取或调节信号中的某些信息。
在拍差检波中，本地振荡器产生的参考信号称为局部振荡信号（local oscillator signal），它的频率通常高于待测信号。待测信号和局部振荡信号通过一个混频器进行混合，混频器将待测信号与局部振荡信号相乘并相加，得到一个包含原始信号频率和拍频频率的混频信号。
在混频过程中，如果待测信号的频率接近局部振荡信号的频率，就会产生一个拍频信号。这是因为混频器将两个信号相乘时，会产生两个交叉项，一个频率等于待测信号频率，一个频率等于局部振荡信号频率。这两个交叉项的幅度会随着时间的变化而产生干涉，形成一个频率等于两者频率差值的拍频信号。
通过测量拍频信号的频率，可以得到待测信号和本地振荡信号之间的频率差异。这在通信系统中常用于频率测量和频率校准，以及在声音处理中用于声音调谐和和声等方面。
总之，拍差检波是通过将待测信号与本地振荡器产生的参考信号进行混频，从而得到一个拍频信号，以便于信号处理和测量的技术。它利用待测信号和参考信号之间的拍频现象，可以测量信号的频率差异或提取信号中的某些信息。
来复再生式接收机和再生式接收机有什么区别
来复再生式接收机和再生式接收机是两种常见的数字通信系统中的信号接收技术，它们的区别如下：
工作方式：来复再生式接收机（Coherent Detection）是一种基于相位锁定环路（PLL）的接收技术，它利用接收信号的相位来解调和恢复原始信号。再生式接收机（Non-Coherent Detection）则是一种不依赖信号相位的接收技术，它通过解调信号的幅度来恢复原始信号。
硬件要求：来复再生式接收机需要在接收端添加一个相位锁定环路和相应的相位调整电路，以确保接收信号与本地参考信号相位一致。再生式接收机则不需要这些额外的硬件要求，只需要一个解调器来解调信号的幅度。
冗余消除能力：来复再生式接收机由于利用了信号的相位信息，因此在接收到有噪声和失真的信号时，相位信息可以帮助提高信号的抗干扰和冗余消除能力。再生式接收机在解调信号幅度时没有利用相位信息，因此对噪声和失真的容忍能力较弱。
复杂度和性能：来复再生式接收机相对而言比再生式接收机更加复杂，因为它需要额外的相位锁定环路，并且对于高速通信系统，相位调整的准确性和速度是关键因素。再生式接收机复杂度较低，但在低信噪比条件下可能表现较差。
应用领域：由于相位信息在信号接收和处理中的重要性，来复再生式接收机在高性能通信系统中较为常见，特别是用于调制方式为相干调制（如QAM、PSK）的系统。再生式接收机则适用于一些要求不高的通信系统，如非相干调制（如FSK）的系统以及低信噪比环境下的通信。
总的来说，来复再生式接收机和再生式接收机在工作方式、硬件要求、冗余消除能力、复杂度和性能等方面有所不同，适用于不同类型的通信系统和不同的信道条件。选择合适的接收机取决于具体的通信需求和系统参数。
现代数字信号处理阅读
系统输入输出描述
例 1.1 计算如下系统对输入信号的响应
x(n)={∣n∣,−3≤n≤30, 其他
x(n) =
\left\{\begin{matrix}
\left | n \right |, -3\le n\le 3 \\
0, \hspace{0.7cm} \text{ 其他}
\end{matrix}\right. \\
x(n)={∣n∣,−3≤n≤30, 其他
(a)y(n)=x(n)(恒等系统)(b)y(n)=x(n−1)(单位延迟系统)(c)y(n)=x(n+1)(单位超前系统)(d)y(n)=[x(n+1)+x(n)+x(n−1)]/3(滑动平均滤波器)(e)y(n)=median[x(n+1),x(n),x(n−1)](中值滤波器)(f)y(n)=∑k=−∞∞x(k)=x(n)+x(n−1)+x(n−2)+⋯(累加器)
(a)\hspace{0.3cm}y(n)=x(n) (恒等系统)\\
(b)\hspace{0.3cm}y(n)=x(n-1) (单位延迟系统)\\
(c)\hspace{0.3cm}y(n)=x(n+1) (单位超前系统)\\
(d)\hspace{0.3cm}y(n)=\left [ x\left ( n+1 \right ) + x(n)+ x(n-1) \right ]/3 (滑动平均滤波器)\\
(e)\hspace{0.3cm}y(n)=median\left [ x\left ( n+1 \right ) , x(n), x(n-1) \right ] (中值滤波器)\\
(f)\hspace{0.3cm}y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+\cdots (累加器)
(a)y(n)=x(n)(恒等系统)(b)y(n)=x(n−1)(单位延迟系统)(c)y(n)=x(n+1)(单位超前系统)(d)y(n)=[x(n+1)+x(n)+x(n−1)]/3(滑动平均滤波器)(e)y(n)=median[x(n+1),x(n),x(n−1)](中值滤波器)(f)y(n)=k=−∞∑∞x(k)=x(n)+x(n−1)+x(n−2)+⋯(累加器)
解：
首先，明确计算出输入信号的样本值
（a）不变
（b）延迟了一个样本
（c）超前了一个样本
（d）
y(n)=x(1)+x(0)+x(−1)3=23y(n)=\frac{x(1)+x(0)+x(-1)}{3}=\frac{2}{3}y(n)=3x(1)+x(0)+x(−1)=32
对每个n值计算得出：
y(n)=\left \{ \cdots ,0,1,\frac{5}{3},2,1,\sideset{}{}{\frac{2}{3}}_ {\uparrow } ,1,2,\frac{5}{3},1,0,\cdots \right \}
（e）三个相邻的数的中值作为输出
y(n)=\left \{ \cdots ,0,2,2,1,\sideset{}{}1_ {\uparrow } ,1,2,2,0,0,0,\cdots \right \}
（f）累加器
y(n)=∑k=−∞nx(k)=∑k=−∞n−1x(k)+x(n)=y(n−1)+x(n)y(n0)=y(n0−1)+x(n0)y(n0+1)=y(n0)+x(n0+1)y(n0−1)=∑k=−∞n0−1x(k)
y(n) = \sum _{k = -\infty }^{n}x(k) = \sum_{k = -\infty }^{n-1}x(k)+x(n) \\ = y(n-1)+x(n)\\
y(n_{0}) = y(n_{0}-1)+x(n_{0})\\
y(n_{0}+1) = y(n_{0})+x(n_{0}+1)\\
y(n_{0}-1) = \sum_{k = -\infty }^{n_{0}-1}x(k) \\
y(n)=k=−∞∑nx(k)=k=−∞∑n−1x(k)+x(n)=y(n−1)+x(n)y(n0)=y(n0−1)+x(n0)y(n0+1)=y(n0)+x(n0+1)y(n0−1)=k=−∞∑n0−1x(k)
要求要拿到之前已经作用到系统的所有影响累积，这是无法获取的
过去不可追！
初始弛豫是指一个物理或化学系统在受到外部激励（如温度变化、电场、力等）后，初始时刻从不平衡状态逐渐向平衡状态恢复的过程。
我们可以将初始弛豫类比为一个杯子里的热水。假设你将一杯冷水放在热水中，温度差会导致热量从热水传递到冷水，使两杯水的温度逐渐接近。初始时，冷水的温度会明显低于热水，但随着时间的推移，冷水的温度会逐渐升高，而热水的温度则会逐渐降低，最终两杯水的温度会趋于均衡。
类似地，初始弛豫在物理或化学系统中发生。当系统受到外部激励后，如温度的变化，系统中的粒子或分子会从不平衡状态渐渐移动到平衡状态。初始时刻，系统的某些量或属性可能与平衡状态有明显的差异，但随着时间的推移，这些差异逐渐减小，系统逐渐恢复平衡。
离散时间系统的结构图